Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penggantian.
(a) x = 3, 2x + y = 10
(b) y = 4, 3x – 2y = 7
(c) x + y = 5, 2x – y = 4
(d) 2x + y = 3, 3x – 2y = 8
Penyelesaian:
(a)
$$
\begin{gathered}
x=3 \ldots \ldots (1) \\
2 x+y=10 \ldots \ldots (2) \\
\end{gathered}
$$
Gantikan (1) dalam (2),
$$
\begin{aligned}
2(3)+y & =10 \\
y & =10-6 \\
y & =4
\end{aligned}
$$
Maka, titik persilangan ialah (3, 4).
(b)
$$
\begin{aligned}
& y=4 \ldots \ldots (1)\\
& 3 x-2 y=7 \ldots \ldots (2) \\
\end{aligned}
$$
Gantikan (1) dalam (2),
$$
\begin{aligned}
3 x-2(4) & =7 \\
3 x-8 & =7 \\
3 x & =7+8 \\
3 x & =15 \\
x & =\frac{15}{3} \\
x & =5
\end{aligned}
$$
Maka, titik persilangan ialah (5, 4).
(c)
$$
\begin{gathered}
x+y=5 \\
2 x-y=4
\end{gathered}
$$
Dari (1), x = 5 – y ….. (3)
Gantikan (3) dalam (2),
$$
\begin{aligned}
2(5-y)-y & =4 \\
10-2 y-y & =4 \\
-3 y & =4-10 \\
-3 y & =-6 \\
3 y & =6 \\
y & =\frac{6}{3} \\
y & =2
\end{aligned}
$$
Gantikan y = 2 dalam (3),
$$
\begin{aligned}
x & =5-2 \\
& =3
\end{aligned}
$$
Maka, titik persilangan ialah (3, 2).
(d)
$$
\begin{gathered}
2 x+y=3 \\
3 x-2 y=8
\end{gathered}
$$
Dari (1), y = 3 – 2 x
Gantikan (3) dalam (2),
$$
\begin{aligned}
3 x-2(3-2 x) & =8 \\
3 x-6+4 x & =8 \\
7 x & =8+6 \\
7 x & =14 \\
x & =\frac{14}{7} \\
& =2
\end{aligned}
$$
Gantikan x = 2 dalam (3),
$$
\begin{aligned}
y & =3-2(2) \\
& =3-4 \\
& =-1
\end{aligned}
$$
Maka, titik persilangan ialah (2, -1).
Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penghapusan.
(a) x + y = 1, 2x + y = –1
(b) x – y = – 4, 3x + y = 4
(c) x – y = –5, 2x + 3y = –10
(d) 2x – 3y = 5, 3x + 2y = 14
Penyelesaian:
(a)
$$
\begin{aligned}
& x+y=1 \ldots \ldots (1) \\
& 2 x+y=-1 \ldots \ldots (2)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { (1) tolak (2), } \\
& x-2 x=1-(-1) \\
& -x=1+1 \\
& -x=2 \\
& x=-2
\end{aligned}
$$
Gantikan x = -2 dalam (1),
$$
\begin{aligned}
-2+y & =1 \\
y & =1+2 \\
& =3
\end{aligned}
$$
Maka, titik persilangan ialah (-2, 3).
(b)
$$
\begin{aligned}
& x-y=-4 \\
& 3 x+y=4 \\
& (1)+(2) \\
& x+3 x=-4 \\
& 4 x=0 \\
& x=0 \\
\text { Gantikan } x & =0 \text { dalam (l), } \\
& 0-y=-4 \\
& y=4 \\
\end{aligned}
$$
Maka, titik persilangan ialah (0, 4).
(c)
$$
\begin{aligned}
& x-y=-5 \ldots \ldots . .(1) \\
& 2 x+3 y=-10 \ldots \ldots . . (2)
\end{aligned}
$$
$$
\text { (1) } \times 2,2 x-2 y=-10 \ldots \ldots . . (3)
$$
(2) tolak (3),
$$
\begin{aligned}
3 y-(-2 y) & =-10-(-10) \\
3 y+2 y & =-10+10 \\
5 y & =0 \\
y & =0
\end{aligned}
$$
Gantikan y = 0 dalam (l),
$$
\begin{aligned}
x-0 & =-5 \\
x & =-5
\end{aligned}
$$
Maka, titik persilangan ialah (-5, 0).
(d)
$$
\begin{aligned}
& 2 x-3 y=5 \\
& 3 x+2 y=14
\end{aligned}
$$
$$
\text { (1) } \times 3,6 x-9 y=15 \ldots \ldots . . (3)
$$
$$
\text { (2) } \times 2,6 x+4 y=28 \ldots \ldots . . (4)
$$
(3) tolak (4),
$$
\begin{aligned}
-9 y-4 y & =15-28 \\
-13 y & =-13 \\
13 y & =13 \\
y & =\frac{13}{13} \\
& =1
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
\text { Gantikan } y & =1 \text { dalam (l), } \\
2 x-3(1) & =5 \\
2 x & =5+3 \\
2 x & =8 \\
x & =\frac{8}{2} \\
& =4
\end{aligned}\\
&\text { Maka, titik persilangan ialah (4, l). }
\end{aligned}
$$