Soalan 1:
Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penggantian.
(a) x = 3, 2x + y = 10
(b) y = 4, 3x – 2y = 7
(c) x + y = 5, 2x – y = 4
(d) 2x + y = 3, 3x – 2y = 8
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{gathered} x=3 \ldots \ldots (1) \\ 2 x+y=10 \ldots \ldots (2) \\ \end{gathered} $$ Gantikan (1) dalam (2), $$ \begin{aligned} 2(3)+y & =10 \\ y & =10-6 \\ y & =4 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (3, 4).
(b)
$$ \begin{aligned} & y=4 \ldots \ldots (1)\\ & 3 x-2 y=7 \ldots \ldots (2) \\ \end{aligned} $$ Gantikan (1) dalam (2), $$ \begin{aligned} 3 x-2(4) & =7 \\ 3 x-8 & =7 \\ 3 x & =7+8 \\ 3 x & =15 \\ x & =\frac{15}{3} \\ x & =5 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (5, 4).
(c)
$$ \begin{gathered} x+y=5 \\ 2 x-y=4 \end{gathered} $$
Dari (1), x = 5 – y ….. (3)
Gantikan (3) dalam (2), $$ \begin{aligned} 2(5-y)-y & =4 \\ 10-2 y-y & =4 \\ -3 y & =4-10 \\ -3 y & =-6 \\ 3 y & =6 \\ y & =\frac{6}{3} \\ y & =2 \end{aligned} $$ Gantikan y = 2 dalam (3), $$ \begin{aligned} x & =5-2 \\ & =3 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (3, 2).
(d)
$$ \begin{gathered} 2 x+y=3 \\ 3 x-2 y=8 \end{gathered} $$
Dari (1), y = 3 – 2 x
Gantikan (3) dalam (2), $$ \begin{aligned} 3 x-2(3-2 x) & =8 \\ 3 x-6+4 x & =8 \\ 7 x & =8+6 \\ 7 x & =14 \\ x & =\frac{14}{7} \\ & =2 \end{aligned} $$ Gantikan x = 2 dalam (3), $$ \begin{aligned} y & =3-2(2) \\ & =3-4 \\ & =-1 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (2, -1).
Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penggantian.
(a) x = 3, 2x + y = 10
(b) y = 4, 3x – 2y = 7
(c) x + y = 5, 2x – y = 4
(d) 2x + y = 3, 3x – 2y = 8
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{gathered} x=3 \ldots \ldots (1) \\ 2 x+y=10 \ldots \ldots (2) \\ \end{gathered} $$ Gantikan (1) dalam (2), $$ \begin{aligned} 2(3)+y & =10 \\ y & =10-6 \\ y & =4 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (3, 4).
(b)
$$ \begin{aligned} & y=4 \ldots \ldots (1)\\ & 3 x-2 y=7 \ldots \ldots (2) \\ \end{aligned} $$ Gantikan (1) dalam (2), $$ \begin{aligned} 3 x-2(4) & =7 \\ 3 x-8 & =7 \\ 3 x & =7+8 \\ 3 x & =15 \\ x & =\frac{15}{3} \\ x & =5 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (5, 4).
(c)
$$ \begin{gathered} x+y=5 \\ 2 x-y=4 \end{gathered} $$
Dari (1), x = 5 – y ….. (3)
Gantikan (3) dalam (2), $$ \begin{aligned} 2(5-y)-y & =4 \\ 10-2 y-y & =4 \\ -3 y & =4-10 \\ -3 y & =-6 \\ 3 y & =6 \\ y & =\frac{6}{3} \\ y & =2 \end{aligned} $$ Gantikan y = 2 dalam (3), $$ \begin{aligned} x & =5-2 \\ & =3 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (3, 2).
(d)
$$ \begin{gathered} 2 x+y=3 \\ 3 x-2 y=8 \end{gathered} $$
Dari (1), y = 3 – 2 x
Gantikan (3) dalam (2), $$ \begin{aligned} 3 x-2(3-2 x) & =8 \\ 3 x-6+4 x & =8 \\ 7 x & =8+6 \\ 7 x & =14 \\ x & =\frac{14}{7} \\ & =2 \end{aligned} $$ Gantikan x = 2 dalam (3), $$ \begin{aligned} y & =3-2(2) \\ & =3-4 \\ & =-1 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (2, -1).
Soalan 2:
Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penghapusan.
(a) x + y = 1, 2x + y = –1
(b) x – y = – 4, 3x + y = 4
(c) x – y = –5, 2x + 3y = –10
(d) 2x – 3y = 5, 3x + 2y = 14
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & x+y=1 \ldots \ldots (1) \\ & 2 x+y=-1 \ldots \ldots (2) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & \text { (1) tolak (2), } \\ & x-2 x=1-(-1) \\ & -x=1+1 \\ & -x=2 \\ & x=-2 \end{aligned} $$ Gantikan x = -2 dalam (1), $$ \begin{aligned} -2+y & =1 \\ y & =1+2 \\ & =3 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (-2, 3).
(b)
$$ \begin{aligned} & x-y=-4 \\ & 3 x+y=4 \\ & (1)+(2) \\ & x+3 x=-4 \\ & 4 x=0 \\ & x=0 \\ \text { Gantikan } x & =0 \text { dalam (l), } \\ & 0-y=-4 \\ & y=4 \\ \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (0, 4).
(c)
$$ \begin{aligned} & x-y=-5 \ldots \ldots . .(1) \\ & 2 x+3 y=-10 \ldots \ldots . . (2) \end{aligned} $$ $$ \text { (1) } \times 2,2 x-2 y=-10 \ldots \ldots . . (3) $$ (2) tolak (3), $$ \begin{aligned} 3 y-(-2 y) & =-10-(-10) \\ 3 y+2 y & =-10+10 \\ 5 y & =0 \\ y & =0 \end{aligned} $$ Gantikan y = 0 dalam (l), $$ \begin{aligned} x-0 & =-5 \\ x & =-5 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (-5, 0).
(d)
$$ \begin{aligned} & 2 x-3 y=5 \\ & 3 x+2 y=14 \end{aligned} $$ $$ \text { (1) } \times 3,6 x-9 y=15 \ldots \ldots . . (3) $$ $$ \text { (2) } \times 2,6 x+4 y=28 \ldots \ldots . . (4) $$ (3) tolak (4), $$ \begin{aligned} -9 y-4 y & =15-28 \\ -13 y & =-13 \\ 13 y & =13 \\ y & =\frac{13}{13} \\ & =1 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} \text { Gantikan } y & =1 \text { dalam (l), } \\ 2 x-3(1) & =5 \\ 2 x & =5+3 \\ 2 x & =8 \\ x & =\frac{8}{2} \\ & =4 \end{aligned}\\ &\text { Maka, titik persilangan ialah (4, l). } \end{aligned} $$
Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penghapusan.
(a) x + y = 1, 2x + y = –1
(b) x – y = – 4, 3x + y = 4
(c) x – y = –5, 2x + 3y = –10
(d) 2x – 3y = 5, 3x + 2y = 14
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & x+y=1 \ldots \ldots (1) \\ & 2 x+y=-1 \ldots \ldots (2) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & \text { (1) tolak (2), } \\ & x-2 x=1-(-1) \\ & -x=1+1 \\ & -x=2 \\ & x=-2 \end{aligned} $$ Gantikan x = -2 dalam (1), $$ \begin{aligned} -2+y & =1 \\ y & =1+2 \\ & =3 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (-2, 3).
(b)
$$ \begin{aligned} & x-y=-4 \\ & 3 x+y=4 \\ & (1)+(2) \\ & x+3 x=-4 \\ & 4 x=0 \\ & x=0 \\ \text { Gantikan } x & =0 \text { dalam (l), } \\ & 0-y=-4 \\ & y=4 \\ \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (0, 4).
(c)
$$ \begin{aligned} & x-y=-5 \ldots \ldots . .(1) \\ & 2 x+3 y=-10 \ldots \ldots . . (2) \end{aligned} $$ $$ \text { (1) } \times 2,2 x-2 y=-10 \ldots \ldots . . (3) $$ (2) tolak (3), $$ \begin{aligned} 3 y-(-2 y) & =-10-(-10) \\ 3 y+2 y & =-10+10 \\ 5 y & =0 \\ y & =0 \end{aligned} $$ Gantikan y = 0 dalam (l), $$ \begin{aligned} x-0 & =-5 \\ x & =-5 \end{aligned} $$ Maka, titik persilangan ialah (-5, 0).
(d)
$$ \begin{aligned} & 2 x-3 y=5 \\ & 3 x+2 y=14 \end{aligned} $$ $$ \text { (1) } \times 3,6 x-9 y=15 \ldots \ldots . . (3) $$ $$ \text { (2) } \times 2,6 x+4 y=28 \ldots \ldots . . (4) $$ (3) tolak (4), $$ \begin{aligned} -9 y-4 y & =15-28 \\ -13 y & =-13 \\ 13 y & =13 \\ y & =\frac{13}{13} \\ & =1 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} \text { Gantikan } y & =1 \text { dalam (l), } \\ 2 x-3(1) & =5 \\ 2 x & =5+3 \\ 2 x & =8 \\ x & =\frac{8}{2} \\ & =4 \end{aligned}\\ &\text { Maka, titik persilangan ialah (4, l). } \end{aligned} $$