Soalan 1:
Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah kuasa tiga sempurna atau bukan. Terangkan bagaimana anda menyokong jawapan dengan menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.
(a) 128
(b) 343
(c) 1 000
Penyelesaian:
Kuasa tiga sempurna boleh ditulis sebagai hasil darab tiga faktor yang sama.
Misalnya,
64 = 4 × 4 × 4
64 ialah kuasa tiga sempurna.
(a) 128
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Faktor perdana tidak boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
Maka, 128 bukan kuasa tiga sempurna.
(b) 343
343 = 7 × 7 × 7
Faktor perdana boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
Maka, 343 ialah kuasa tiga sempurna.
(c) 1000
1 000 = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5)
Faktor perdana boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
Maka, 1000 ialah kuasa tiga sempurna.
Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah kuasa tiga sempurna atau bukan. Terangkan bagaimana anda menyokong jawapan dengan menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.
(a) 128
(b) 343
(c) 1 000
Penyelesaian:
Kuasa tiga sempurna boleh ditulis sebagai hasil darab tiga faktor yang sama.
Misalnya,
64 = 4 × 4 × 4
64 ialah kuasa tiga sempurna.
(a) 128
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Faktor perdana tidak boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
Maka, 128 bukan kuasa tiga sempurna.
(b) 343
343 = 7 × 7 × 7
Faktor perdana boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
Maka, 343 ialah kuasa tiga sempurna.
(c) 1000
1 000 = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5)
Faktor perdana boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
Maka, 1000 ialah kuasa tiga sempurna.
Soalan 2:
Pemfaktoran perdana bagi 3 375 ialah 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
Terangkan bagaimana anda mencari punca kuasa tiga bagi 3 375 dengan menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.
Penyelesaian:
3 375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5)
= 15 ×15 × 15
Faktor perdana boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
$$ \begin{aligned} \text { Maka, punca kuasa tiga } 3375 & =\sqrt[3]{3375} \\ & =\sqrt[3]{15 \times 15 \times 15} \\ & =15 \end{aligned} $$
Pemfaktoran perdana bagi 3 375 ialah 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
Terangkan bagaimana anda mencari punca kuasa tiga bagi 3 375 dengan menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.
Penyelesaian:
3 375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5)
= 15 ×15 × 15
Faktor perdana boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama.
$$ \begin{aligned} \text { Maka, punca kuasa tiga } 3375 & =\sqrt[3]{3375} \\ & =\sqrt[3]{15 \times 15 \times 15} \\ & =15 \end{aligned} $$
Soalan 3:
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} (-5)^3 & =(-5) \times(-5) \times(-5) \\ & =-125 \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} \left(\frac{4}{5}\right)^3 & =\left(\frac{4}{5}\right) \times\left(\frac{4}{5}\right) \times\left(\frac{4}{5}\right) \\ & =\frac{64}{125} \end{aligned} $$
(c)
$$ \begin{aligned} \left(-1 \frac{1}{6}\right)^3 & =\left(-\frac{7}{6}\right)^3 \\ & =\left(-\frac{7}{6}\right) \times\left(-\frac{7}{6}\right) \times\left(-\frac{7}{6}\right) \\ & =-\frac{343}{216} \end{aligned} $$
(d)
$$ \begin{aligned} (-3.2)^3 & =(-3.2) \times(-3.2) \times(-3.2) \\ & =-32.768 \end{aligned} $$
(e)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{125} & =\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5} \\ & =\sqrt[3]{5^3} \\ & =5 \end{aligned} $$
(f)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{-512} & =\sqrt[3]{(-8) \times(-8) \times(-8)} \\ & =\sqrt[3]{(-8)^3} \\ & =-8 \end{aligned} $$
(g)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{729} & =\sqrt[3]{9 \times 9 \times 9} \\ & =\sqrt[3]{9^3} \\ & =9 \end{aligned} $$
(h)
$$ \begin{aligned} & \sqrt[3]{-27000} \\ & =\sqrt[3]{(-30) \times(-30) \times(-30)} \\ & =\sqrt[3]{(-30)^3} \\ & =-30 \end{aligned} $$
(i)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{\frac{8}{125}} & =\sqrt[3]{\frac{2 \times 2 \times 2}{5 \times 5 \times 5}} \\ & =\sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^3} \\ & =\frac{2}{5} \end{aligned} $$
(j)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{-\frac{64}{343}} & =\sqrt[3]{\left(-\frac{4}{7}\right)\left(-\frac{4}{7}\right)\left(-\frac{4}{7}\right)} \\ & =\sqrt[3]{\left(-\frac{4}{7}\right)^3} \\ & =-\frac{4}{7} \end{aligned} $$
(k)
$$ \begin{aligned} & \sqrt[3]{-0.512} \\ & =\sqrt[3]{-\frac{512}{1000}} \\ & =\sqrt[3]{\left(-\frac{8}{10}\right)\left(-\frac{8}{10}\right)\left(-\frac{8}{10}\right)} \\ & =-\frac{8}{10}=-0.8 \end{aligned} $$
(l)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{1.331} & =\sqrt[3]{1 \frac{331}{1000}} \\ & =\sqrt[3]{\frac{1331}{1000}} \\ & =\sqrt[3]{\left(\frac{11}{10}\right)\left(\frac{11}{10}\right)\left(\frac{11}{10}\right)} \\ & =\frac{11}{10}=1.1 \end{aligned} $$
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} (-5)^3 & =(-5) \times(-5) \times(-5) \\ & =-125 \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} \left(\frac{4}{5}\right)^3 & =\left(\frac{4}{5}\right) \times\left(\frac{4}{5}\right) \times\left(\frac{4}{5}\right) \\ & =\frac{64}{125} \end{aligned} $$
(c)
$$ \begin{aligned} \left(-1 \frac{1}{6}\right)^3 & =\left(-\frac{7}{6}\right)^3 \\ & =\left(-\frac{7}{6}\right) \times\left(-\frac{7}{6}\right) \times\left(-\frac{7}{6}\right) \\ & =-\frac{343}{216} \end{aligned} $$
(d)
$$ \begin{aligned} (-3.2)^3 & =(-3.2) \times(-3.2) \times(-3.2) \\ & =-32.768 \end{aligned} $$
(e)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{125} & =\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5} \\ & =\sqrt[3]{5^3} \\ & =5 \end{aligned} $$
(f)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{-512} & =\sqrt[3]{(-8) \times(-8) \times(-8)} \\ & =\sqrt[3]{(-8)^3} \\ & =-8 \end{aligned} $$
(g)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{729} & =\sqrt[3]{9 \times 9 \times 9} \\ & =\sqrt[3]{9^3} \\ & =9 \end{aligned} $$
(h)
$$ \begin{aligned} & \sqrt[3]{-27000} \\ & =\sqrt[3]{(-30) \times(-30) \times(-30)} \\ & =\sqrt[3]{(-30)^3} \\ & =-30 \end{aligned} $$
(i)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{\frac{8}{125}} & =\sqrt[3]{\frac{2 \times 2 \times 2}{5 \times 5 \times 5}} \\ & =\sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^3} \\ & =\frac{2}{5} \end{aligned} $$
(j)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{-\frac{64}{343}} & =\sqrt[3]{\left(-\frac{4}{7}\right)\left(-\frac{4}{7}\right)\left(-\frac{4}{7}\right)} \\ & =\sqrt[3]{\left(-\frac{4}{7}\right)^3} \\ & =-\frac{4}{7} \end{aligned} $$
(k)
$$ \begin{aligned} & \sqrt[3]{-0.512} \\ & =\sqrt[3]{-\frac{512}{1000}} \\ & =\sqrt[3]{\left(-\frac{8}{10}\right)\left(-\frac{8}{10}\right)\left(-\frac{8}{10}\right)} \\ & =-\frac{8}{10}=-0.8 \end{aligned} $$
(l)
$$ \begin{aligned} \sqrt[3]{1.331} & =\sqrt[3]{1 \frac{331}{1000}} \\ & =\sqrt[3]{\frac{1331}{1000}} \\ & =\sqrt[3]{\left(\frac{11}{10}\right)\left(\frac{11}{10}\right)\left(\frac{11}{10}\right)} \\ & =\frac{11}{10}=1.1 \end{aligned} $$